Из опыта работы
ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ
ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
Автор: Фуфыкин Владимир Николаевич, заместитель директора Владимирского областного института усовершенствования учителей по учебно-методической работе.
Целями обучения геометрии является не только усвоение школьниками содержания знаний, геометрического материала, но и способов их получения, формирование представление о методах работы с геометрическими объектами. Освоение учениками общих приемов работы с геометрическим материалом дает возможность ученикам самостоятельно включаться в познавательную деятельность, дает независимость от учителя в поиске новых знаний, способность самостоятельно осуществлять учебные исследования. В. В.Давыдов считает, что обучение в школе нужно строить так, чтобы оно повторяло процесс рождения и становления новых знаний. В процессе организованной таким образом учебно-познавательной деятельности "школьники осуществляют мыслительные действия, адекватные тем, посредством которых исторически вырабатывались эти продукты духовной культуры", т.е. становятся "учениками - исследователям". Ученику более интересно и более естественно проводить исследование (квазиисследования), открывая для себя новые факты, чем выучивать готовый фактический материал Ученик, способный проводить учебное исследование, может самостоятельно, или частично самостоятельно, выбрать объект для исследования и изучит его свойства в рамках своих учебных возможностей. Для этого мотивы освоения учениками приемов математического исследования должны стать ведущими и послужить целям формирования интереса не только к учебно-познавательной, но и к учебно-поисковой и учебно-исследовательской деятельности.
Для того, что бы ученики освоили приемы работы с геометрическим материалом в курсе геометрии основной школы использовалась следующая схема изучения геометрических фигур:
Используя собственный опыт ученики побуждаются перечисление объектов более общего класса, в который входят объекты, подлежащие изучению, составление их списка, перечисление свойств, сравнение объектов, выделение основания для сравнения. Выявление различающих свойств.
Выделение общих, существенных признаков и объединение объектов в группы по общим существенным признакам. Классификация объектов.
Обозначение класса объектов (подбор, обоснование названия класса объектов). Определение этого класса объектов.
Предположение о наличии общих свойств изучаемого класса объектов. Выдвижение гипотез. Проверка выдвинутых гипотез на правдоподобие (обобщенность).
Доказательство (опровержение) наличия свойств (гипотез).
Формулирование выводов, обобщение выводов на все объекты рассматриваемого класса. Получение следствий из доказанных свойств.
Переформулирование выводов, свойств объектов как достаточного признака данной категории. Проверка на правдоподобие (обобщенность) истинности сформулированного признака.
Доказательство признака.
Применение найденных выводов в различных практических ситуациях.
Как правило учащиеся знакомятся с понятиями еще до изучения системного курса геометрии и имеют интуитивное представление о большинстве геометрических фигур, изучаемых в основной школе, поэтому при работе с понятиями в курсе 7 класса особое внимание уделяется рассмотрению вопроса о том, как определяются эти понятия, какова структура определения, формированию умения определять понятие. Чтобы ученики более четко понимали видовые отличия, могли правильно выделять существенные признака данного понятия, должны быть рассмотрены вопросы об общих и единичных, существенных и несущественных признаках понятия, так при рассмотрении видов треугольников и их свойств ученики могут выделить случайные, единичные свойства, например: "основание равнобедренного треугольника лежит внизу", и требуется определенная работа по формированию понятий "общее и единичные свойств".
Работу по определению геометрический фигуры предваряет выделение определяемого объекта из фона на основании выделения существенного признака, определяющего эту фигуру. Это может быть проведено при классификации геометрических фигур, проводя которую ученики выделяют определяемый класс объектов. Так, рассмотрение всех видов треугольников позволяет выделить их классы по наличию (отсутствию) равных сторон и этот характеристический признак дает возможность определить выделенный класс треугольников. Здесь уместно рассмотреть вопрос о другой возможной классификации треугольников по углам, как классификации на основании другого признака. Возможно рассмотрение классификации треугольников по двум разным признакам одновременно. Знакомство с классификацией треугольников может быть начата в 6 классе, при знакомстве с видами треугольников. В этом случае понятие классификации может быть использовано при изучении числовых систем.
Работа в таком режиме позволяет ученикам научится самим выделять характеристический признак, на основании которого проводить классификацию и определять выделенную фигуру. Для успешного проведения классификации на основании общих свойств классифицируемые объекты должны быть знакомы учащимся. Поэтому целесообразно знакомит учеников с различными геометрическими фигурами до из системного изучения, формировать опыт манипулирования с этими фигурами.
Выделение основания для классификации часто вызывает затруднения у учащихся, особенно, если это сопряжено со сменой подхода к выборе основания для классификации. Так в 8 классе при проведении классификации четырехугольников ученики первоначально пытаются выделять классы по наличию равных сторон или равных углов и, когда убеждаются в непродуктивности старого подхода начинают подыскивать новый признак - наличие (отсутствие ) параллельных сторон.
Работа по классификации завершается определением выделенного класса объектов на основании указания видового понятия и родового отличия. Эта конструкция определения наиболее часто встречается в курсе геометрии и довольно легко осваивается учениками. По мере расширения круга понятий осваиваются и другие конструкции, например определение через ГМТ, однако самостоятельное формулирование определений на основании этих конструкций учащимся не предлагается.
Работа по классификации бывает полезна даже и том случае, когда выделенные объекты не определяются, но классификация используется для выделения исследуемого класса объектов, при рассмотрении которых формулируется познавательная задача. Например при изучении различных случаев взаимного положения углов и окружностей, ученики выделяют классы возможных случаев взаимного положения для того, чтобы провести работу по установлению зависимости между величиной угла, пересекающего окружность и величинами отсекаемых этим углом дуг.
После того, как класс исследуемых объектов определен, ставится задача найти "открыть" другие общие свойства рассматриваемых объектов. При рассмотрении свойств изучаемого фигуры ученики ставились с позицию "открывателей" свойств, побуждались высказывать предположения о наличии тех или иных свойств. Для выдвижения гипотез на начальных этапах изучения используются различные приемы манипулирования с моделями фигур, вырезанных из бумаги: совмещение частей при перегибании или отрывание отдельных элементов фигуры (два угла на бумажных моделях отрываются и накладываются, или совмещаются в результате перегибания). Постепенно работа с моделями заменяется работой с чертежами, причем, чтобы проверить наличие свойства у других фигур (его общность) рассматриваемое свойство проверялось на различных чертежах.
При рассмотрении свойств геометрических фигур выстраивался четкий план. Так по теме "Равнобедренный треугольник" рассматривались предположения о наличии свойства сторон (две стороны равны) свойства углов (два угла равны), угол при основании не может быть прямым или тупым, свойства медиан, биссектрис, высот (высота, биссектриса и медиана проведенные к основанию совпадают). Хорошие результаты в поиске свойств и признаков давал прием постановки познавательной проблемы, которая начиналась со слов "может ли быть...". Например: "Может ли быть, чтобы у треугольника высота совпадает только с медианой, только с биссектрисой". Весьма продуктивно строить предположения со слов "что будет, если...", например: "Что будет, если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, что будет если диагонали параллелограмма перпендикулярны". Побуждает учеников на "открытие" новых теорем и прием широкого переноса имеющихся знаний, предположения по их использованию в новой ситуации. Например, после изучения формулы площади четырехугольника через половину произведение диагоналей на синус угла между ними высказывается предположение, что существует аналогичная формула для средних линий четырехугольника, и ученики приступают к поиску способа доказательства предположения.
При выдвижении предположений учениками могут быть высказаны предположения явно неверные, или выделены свойства, которые не являются общими. Эти предположения остаются для рассмотрения как рабочие гипотезы (например, угол при вершине меньше углов при основании и т.д.). Далее проводилось проверка наличия или отсутствия этого свойства при рассмотрении дополнительных случаев (проверка на правдоподобие). После проверки на обобщенность ученикам предлагалось подобрать способы доказательства утверждения, придумать свой способ доказательства или выдвинуть какую-либо спою гипотезу о наличии каких либо других свойств и поработать с ней. При доказательстве выдвинутых учениками предположений может случиться, что сформулированная учениками гипотеза не может быть доказана на данном этапе ввиду недостаточности знаний учащихся. В этом случае обосновывается невозможность доказательства утверждения из-за нехватки знаний и дается информация о том, как и когда это утверждение будет доказано. При этом ученики выдвигали гипотезы и формулировали свойства, которые на данном этапе обучения не могли доказать. В этом случае доказательство такого положения откладывалось на более позднее время, но оговаривалась причина невозможности доказать утверждение на этом этапе. На первых этапах работы с доказательствами свойств, теорем ученики часто ориентируются не на общие свойства всего рассматриваемого класса фигур, а на единичные свойства фигуры, изображенной на чертеже. Чтобы устранить эту сложность в восприятии доказательства полезно провести доказательство одного и того же свойства на разных чертежах, с различным расположением данной фигуры, с различным обозначением этой фигуры. Ученики убеждаются в общности этапов доказательства и независимости этих этапов от конкретного рисунка, который используется при этом.
При рассмотрении доказательств геометрических теорем акцент переносился с выучивания доказательств на умение проводить математическое доказательство. Ученики побуждались к обсуждению способа доказательства, подбирали, обосновывали необходимое дополнительное построение, проводили доказательство на измененном чертеже, ученики побуждаются к поиску других способов доказательства, сравнивают их, выбирают более понятным. Поиск других способов доказательства (возможно не самых рациональных), обсуждение их идей может осуществляться на уроке, а логическое оформление доказательства может стать домашней работой. Отдельно может быть рассмотрен вопрос о рациональности различных способах доказательств.
После того, как завершена работа со свойствами фигур, можно приступать к работе по формулированию признаков фигуры. Для этого ученики формулируют утверждение, обратное рассмотренному свойство, и проверяют сформулированное утверждение на правдоподобие. Если свойство является не только необходимым но и достаточным признаком, ставиться задача его доказать. При работе таким образом ученики могут формулировать признака, которые в школьных учебниках не формулируются и не доказываются, например по свойству высоты, медианы и биссектрисы свойства равнобедренного треугольника формулируется признак "Если в треугольнике биссектриса и высота совпадают ,то это треугольник равнобедренный", а у параллелограмма "появляются" свои новые признаки: "Если противоположные углы четырехугольника равны то этот четырехугольник является параллелограммом", и "Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом". Работа по доказательству этих новых признаков не является напрасной. Она позволяет еще раз поработать над умениями проводить доказательства, показать взаимосвязи доказательств прямой и обратной теорем.
На первых порах на уроках преобладала коллективно - распределенная деятельность, под руководством учителя, но постепенно ученики получали большую самостоятельность в осуществлении отдельных этапов исследования, которое освоили: проверке истинности выдвинутых предположений, в поиске способов доказательств. Постепенно некоторые ученики могли самостоятельно выдвигать свои гипотезы и осуществлять работу с ними.
По приведенный выше схеме изучения фигур проводилось изучение тем 7 класса: "Равнобедренные треугольники", "Равносторонние треугольники", "Прямоугольные треугольники". В 8 классе коллективно - распределенная деятельность стала организовываться в форме групповой работы в которой находилась возможность проявлять индивидуальные способности.
Уже с 7 класса ученики стали привлекаться к выполнению творческих, исследовательских заданий по доказательству сформулированный на уроке теорем, к формулированию и доказательству новых свойств и новых признаков. Эта работа усложнялась по мере освоения учениками этапов исследования. В 8 классе при рассмотрении темы "Виды четырехугольников" ученикам было предложено разбившись на группы рассмотреть определение, свойства и признаки четырехугольника какого-нибудь вида по известному им плану, причем каждый ученик выполнял и оформлял результаты в зависимости от своего желания. Кто-то ограничился материалом, который рассматривался в группе и материалом учебника, а кто-то сформулировал целый ряд своих свойств и признаков. Нашлись ученики, которые смогли провести более полное исследование какой-либо известной фигуры, или даже исследовать неизвестную им фигуру. Рассмотрение выбранной учениками фигуры не закончилось темой "Виды четырехугольников". Исследование учениками свойств выбранных фигур было продолжено и при рассмотрении следующих тем геометрии. При рассмотрении темы "Площади многоугольников"после вывода формул площадей ученикам было предложено попытаться вывести аналогичные формулы площади для выбранных ими фигур через различные наборы определяющих элементов. При рассмотрении темы "Вписанные и описанные многоугольники" ученики исследовали вопрос о возможности вписать и описать окружность около выбранной ими фигуры выразить радиусы этих окружностей через определяемые элементы и даже в теме "Векторы" попытались провести доказательства рассмотренных на уроке теорем векторным методов. Получилась целая исследовательская работа, которую ученики защитить на экзамене.
План исследовательской работы учащегося 9 класса по теме "ДЕЛЬТОИД".
Введение.
Дельтоид.
Определение.
Свойства (сформулированы и доказаны свойства сторон, углов, диагоналей, свойство симметрии дельтоида, определили вид параллелограмма Вариньона (четырехугольника с вершинами в серединах сторон)).
Признаки (сформулированы и доказаны 2 признака).
Количество элементов, определяющих дельтоид (сформулирован вывод, составлены и решены три задачи на построение дельтоида по трем элементам, составлены и решены три задачи на вычисление всех элементов дельтоида по трем данным элементам, в т.ч. радиусов вписанной и описанной окружностей).
Площадь дельтоида (выведены три формулы площади). Доказано, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади дельтоида.
Существование окружности, вписанной в дельтоид (доказано существование).
Существование окружности, описанной около дельтоида (доказана возможность вписать окружность в дельтоид с двумя прямыми углами).
Заключение. Показ практической значимости рассмотренного материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.
План исследовательской работы учащегося 9 класса по теме "Равнобедренная трапеция".
Введение.
Равнобедренная трапеция.
Определение. (Даны три определения через различные видовые понятия).
Свойства. (Сформулированы и доказаны свойства сторон, углов, диагоналей, свойство симметрии).
Свойства средних линий трапеции (для рассмотрения вводились две средние линии), например: "отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции делится точкой пересечения двух средних линий пополам".
Теоремы о трапеции, например "биссектрисы углов, примыкающих к боковой стороне перпендикулярны".
Признаки (сформулированы и доказаны 2 признака).
Количество элементов, определяющих трапецию (сформулирован вывод, составлены и решены три задачи на построение равнобедренной трапеции по четырем элементам, составлены и решены три задачи на вычисление всех элементов равнобедренной трапеции, включая радиус описанной окружности, по четырем данным элементам).
Площадь равнобедренной трапеции (выведены три формулы площади через различные наборы данных элементов).
Теоремы о площадях (например "при диагональном разбиении правильной трапеции произведения площадей противолежащих треугольников равны").
Существование окружности, вписанной в равнобедренную трапецию. Сделан вывод. Сформулировано и доказано условие, при котором в трапецию можно вписать окружность.
Существование окружности, описанной около равнобедренной трапеции (доказана возможность вписать окружность в трапецию. Рассмотрены условия, при которых центр описанной окружности лежит внутри трапеции, вне ее, на стороне трапеции).
Заключение. Показана практическая значимость рассмотренного материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.
План исследовательской работы ученика 9 класса по теме: "Средние линии четырехугольника".
Вводная часть.
Средние линии четырехугольника.
Определение средней линии четырехугольника.
Свойства средних линий:
- Полусумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника не меньше средней линии двух других сторон.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей выпукло четырехугольника делится точкой пересечения средних линий пополам.
- Выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются средними линиями данного четырехугольника, является параллелограммом (параллелограмм Вариньона).
Свойства средних линий известных четырехугольников.
- Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
Параллелограммы Вариньона для известных видов четырехугольников.
Свойства площадей, связанных со средними линиями:
- При разбиении выпуклого четырехугольника средними линиями суммы площадей противоположных четырехугольников равны.
- Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.
- Средняя линия трапеции, соединяющая середины оснований разбивает его на две равновеликие трапеции.
- Площадь четырехугольника равна произведению средних линий на синус угла между ними.
Заключение. Показана практическая значимость рассмотренного материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.
План исследовательской работы ученика 9 класса по теме: "Параллелограмм Вариньона".
Вводная часть.
Параллелограмм Вариньона, (четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника).
Определение четырехугольника Вариньона.
Доказательство свойства: "четырехугольник Вариньона является параллелограммом".
Определение вида параллелограмма Вариньона для различных видов четырехугольников.
Свойство площади параллелограмма Вариньона (площадь параллелограмм Вариньона равна половине площади данного четырехугольника).
Обобщение четырехугольника Вариньона для произвольного многоугольника. Доказательство свойства "Многоугольник Вариньона для правильного многоугольника также является правильным".
Заключение. Показ практической значимости рассматриваемого материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.
План исследовательской работы ученика 9 класса по теме: "Вписанные и описанные четырехугольники".
Вводная часть.
Вписанные и описанные четырехугольники.
Свойства сторон вписанного четырехугольника.
Признаки вписанных четырехугольников.
Свойства углов описанного четырехугольника.
Признаки описанных четырехугольников.
Формулы площадей четырехугольников через радиусы вписанной или описанной окружностей. Частные случаи формул площадей.
Возможность вписать (описать) окружность в (около) четырехугольников известных видов.
Частные случаи формул площадей для четырехугольников известных видов (через радиусы вписанных, описанных окружностей).
Свойство вписанности (описанности), как основание для классификации видов параллелограммов.
Свойство трапеций (прямоугольной, равнобокой) около которых можно описать окружность (или вписать окружность).
Заключение. Показ практической значимости рассматриваемого материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.
План исследовательской работы ученика 9 класса по теме: "Симметрия четырехугольников".
Вводная часть.
Симметрия четырехугольников.
Виды симметрии.
Определение фигуры, обладающей свойством симметрии.
Симметрия известных видов четырехугольников.
Свойства четырехугольников известных видов, обусловленных наличием свойства симметрии.
Наличие свойств симметрии и признаки четырехугольников: а) если многоугольник имеет центр симметрии, то каждая его вершина симметрична другой вершине, т.е. имеет четное число вершин, б) если многоугольник имеет ось симметрии, то каждая его вершина не лежащая на оси, симметрична некоторой другой его вершине, в) если четырехугольник имеет центр симметрии, то он параллелограмм, г) если выпуклый четырехугольник имеет хотя бы одну ось симметрии, то он либо равнобокая трапеция, либо прямоугольник, либо дельтоид, д) если выпуклый четырехугольник имеет две оси симметрии, то он либо ромб, либо прямоугольник, е) если выпуклый четырехугольник имеет более двух осей симметрии, то он является квадратом и имеет четыре оси симметрии.
Свойства площадей четырехугольников, обладающих свойством симметрии.
Заключение. Показ практической значимости рассматриваемого материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.
Литература:
Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986.
Станченко С.В., Хованский С.А. Планиметрия. Электронный учебник-справочник. Для школьников и абитуриентов: Наглядное пособие. - М.: "КУДИЦ", 1998.
|
