Методические рекомендации по использованию активных форм обучения математике.
Рекомендации составлены на основе изучения и обобщения опыта работы заслуженного учителя школы РСФСР Л.Ф. Российской (г. Владимир, школа № 23) по применению уроков-лекций, уроков-семинаров, уроков-практикумов, обзорных уроков и др. в обучении математике.
Предназначены для учителей математики и студентов физико-математических факультетов педагогических ВУЗов.
Составители: В. П. Покровский, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики Владимирского Государственного педагогического университета.
Рецензенты:
Т.С. Белоусова, учитель математики средней школы № 16 г. Владимира, заслуженный учитель Российской Федерации.
Н.В. Медведев, кандидат физико-математических наук, доцент Владимирского Государственного педагогического университета.
В настоящее время в школах получают распространение различные методические системы работы учителей (в том числе и учителей математики). Сущность каждой такой системы состоит в специализации входящих в нее уроков. На страницах журнала "Математика в школе" учитель найдет описание различных систем преподавания математики: лекционно-семинарской, лекционно-практической, лекционно-зачетной. В названии системы указываются две основные в ней формы организации учебной деятельности учащихся, которые сочетаются с другими активными формами обучения. Учитывая особую эффективность уроков-лекций и уроков-семинаров для организации учебной работы, в методике обучения математике оформился лекционно-семинарский метод.
Опыт работы учителей математики по реализации реформы школы показывает, что разнообразные формы занятий в методической системе, основанные на сотрудничестве учителя и учеников, позволяют значительно расширить самостоятельную работу школьников и активизировать их учебно-познавательную деятельность, создают благоприятные условия для установления внутрипредметных и межпредметных связей, усиления практической и прикладной направленности преподавания, воспитания добросовестного отношения к учебе и др.
В результате отмечается более высокий уровень математической подготовки и развития учащихся.
В школах Владимирской области накоплен положительный опыт проведения как отдельных уроков-лекций, уроков-семинаров, уроков-практикумов, уроков-консультаций, уроков-зачетов и др., так и лекционно-семинарской системы в целом. Над этой проблемой работают как отдельные учителя математики, так и творческие коллективы, используя богатый опыт учителей страны.
Определенная методическая система сложилась у заслуженного учителя школы РСФСР Любови Филипповны Российской (средняя школа № 23, г. Владимир). Этого педагога отличают хорошая теоретическая подготовка по предмету, высокая методическая эрудиция, преданность учительскому труду, постоянный творческий поиск и самообразование, стремление поделиться своим опытом с коллегами и будущими учителями - студентами физико-математического факультета ВГПУ.
Многие годы предметом ее исследований была тема "Роль активных форм обучения математике в развитии познавательной и творческой деятельности учащихся старших классов". В результате и сложилась методическая система обучения математике в старших классах.
В основе опыта работы Л.Ф. Российской - органическое сочетание традиционных и новых приемов, методов, форм и средств обучения, направленных на развитие творческих способностей каждого ученика, на формирование умений и навыков учебного труда, на воспитание потребности и умения пополнять и обновлять свои знания. Наряду с традиционными видами урока она использует уроки-лекции, уроки-семинары, уроки-практикумы, уроки-консультации и др.
Охарактеризуем основные моменты системы работы Л.Ф. Российской.
1. Очередная тема программы начинается с урока-лекции, на котором излагается весь теоретический материал, рассматриваются случаи применения вопросов теории к решению простейших задач. Чтение лекции сопровождается подачей опорного конспекта-схемы, который заранее написан на доске с использованием цветного мела. Во время лекции учитель использует пособия и ТСО. Учащиеся слушают учителя и внимательно изучают демонстрационные источники знания (план лекции, опорный конспект, наглядные пособия и др.); отвечая на вопросы учителя устно. Лекция читается эмоционально, голосом, мимикой, жестами выделяются основные моменты, имеющие главную роль в теме.
В конце урока учитель стремится еще раз уже более кратко повторить наиболее трудные и центральные части лекции по конспекту-схеме. Положения, которые у учеников вызывают затруднения, объясняются еще раз.
Опорный конспект-схема переписывается учениками в свою рабочую тетрадь, чтобы унести домой "вид классной доски", причем написанный тем же цветом, что и на доске.
Слушая учителя, отвечая на его вопросы, задавая свои вопросы, выполняя краткие самостоятельные работы по ходу лекции, записывая опорный конспект в тетрадь, каждый ученик имеет возможность осмыслить, уяснить и даже запомнить основное содержание изложенного материала на уроке.
Лекционная форма подачи теоретического материала позволяет учителю изучать его крупными блоками, что дает возможность эффективно повторять вопросы теории на последующих уроках. Опорный конспект, представляющий собой компактное изложение основного содержания лекции, дает возможность ученикам быстро воспроизвести нужный материал при решении задач. Учащимся разрешается пользоваться тетрадью с опорными конспектами как справочником.
Часто изучение нового материала Л.Ф. Российская начинает с постановки перед учащимися проблемы, которая решается учителем или с привлечением учащихся. Учащиеся "сталкиваются" с трудностями, у них возникает желание найти способы преодоления их, желание приобрести новые, недостающие знания. Усвоение нового материала тогда становится для учащихся мотивированным процессом, вызывающим внимание, сосредоточенность и активность мысли.
К следующему уроку учитель предлагает учащимся прочитать соответствующий материал учебника, иногда еще и дополнительную научно-популярную литературу, вспомнить объяснение учителя, глядя на опорный конспект в тетради, озвучить его, подготовиться по памяти записать и озвучить конспект-схему на уроке.
2. Новый материал, первоначально сообщенный на лекции, неоднократно повторяется учащимися и рассматривается ими в различных связях на уроках-практикумах и семинарских занятиях.
На следующем уроке после лекции учитель осуществляет опрос учащихся по теории с использованием написанного ими опорного конспекта на доске. Остальные учащиеся слушают и дают рецензии на ответы, которые содержат формулировки определений, утверждений, теорем, аксиом, правил, доказательство теорем и др. элементы математических знаний.
На основе многократного повторения вопросов теории на нескольких уроках учитель добивается от всех учащихся усвоения теоретического материала на уровне программных требований. Результативность усвоения теории она выясняет с помощью проведения кратковременных самостоятельных работ, математических диктантов, экспресс-зачетов, мини-зачетов, блиц-опросов и др. Экспресс-зачет проводится по основным понятиям и формулам на 3-6 мин., ошибаться не разрешается. Учитель задает последовательно вопросы различным ученикам, которые сразу же отвечают с места, не вставая, что позволяет экономить время на уроке. Этот вид контроля учитель называет экспресс-зачетом.
При блиц-опросе вызывается один ученик к доске, которому учитель или учащиеся задают вопросы по теории. Он должен быстро давать на них правильные ответы.
Кроме того, степень усвоения материала учащимися выясняется с помощью листов взаимоконтроля, которые содержат перечень программных вопросов по изучаемой теме. Ученики отвечают на вопросы друг другу по очереди и взаимно оценивают друг друга.
Заметим, что при различных формах контроля знаний учитель не выставляет неудовлетворительную отметку ученику в журнал, а оставляет за ним право еще раз подготовиться и сдать зачет. Тем самым он добивается "победного обучения каждого школьника".
Стержнем обучения математике в школе является решение задач на применение теоретических знаний. И это главное условие, которым руководствуется Л.Ф. Российская в своей работе. Умению решать задачи она учит на уроках-практикумах. На первом таком уроке она дает образцы решения основных типов задач, учащиеся знакомятся с алгоритмами их решений. На последующих уроках и дома они решают задачи из предложенной системы задач по теме, которые содержатся в учебном пособии. Для учащихся, проявляющих особый интерес к математике, предлагаются задачи на творческое применение теоретических знаний. На уроках-практикумах в полную меру реализуется принцип дифференцированного подхода к учащимся.
Практикум по решению задач включает в себя фронтальную, групповую и индивидуальную работу. Основным методом является самостоятельная работа учащихся с учебником, с дидактическими материалами, с индивидуальными карточками-заданиями, с наглядными пособиями алгоритмического типа у доски и др. Обучающие виды самостоятельных работ с учетом подготовленности и способностей различных групп учащихся позволяют каждому ученику овладевать умениями и навыками с доступной ему скоростью. Каждый из них на уроке может получить своевременную помощь от учителя или от консультанта.
При обучении решению задач очень важен систематический контроль за выработкой соответствующих умений и навыков. Поэтому проводятся кратковременные контрольные работы на 10-20 минут по решению задач, входящих в обязательные результаты обучения; для учащихся, обучающихся на "4" и "5" даются дополнительные задачи; чтобы исключить несамостоятельность решения задач по теме из предложенного списка, учитель проводит релейную контрольную работу, т.е. работу, в которую включаются только те задачи, которые выполнял ученик или в классе, или дома. Зная о таком виде проверки, ученики стараются прорешать все указанные учителем задачи.
Практикует учитель так называемые "свободные задания" на длительные срок. Это система задач различной степени трудности по какой-либо теме; задачи учитель подбирает из журналов "Квант", "Математика в школе" и других пособий. "Свободные задания" разрешается выполнять коллективно или индивидуально, можно получить консультацию у учителя.
На семинарских занятиях учащиеся, как правило, углубляют теоретические знания, расширяют представление о практическом применении изученных вопросов, решают задачи различными способами, рассматривают другие варианты доказательства теорем, разбирают задачи "свободного задания". На уроках-семинарах ученики могут отчитаться о самостоятельном изучении какого-то теоретического вопроса, предложить свой вариант опорного конспекта-схемы по тексту учебника с использованием дополнительной литературы или плана решения типовой задачи, рассказать решение самим составленной задачи.
Многократные проверочные работы по теории и по практике дают учителю возможность осуществлять контроль за степенью овладения знаниями, умениями и навыками, своевременно оказывать помощь слабоуспевающим ученикам, добиваться осознанного и прочного усвоения материала. Регулярно проводятся консультации как по изучаемой теме, так и по темам повторения.
3. Важным звеном в системе работы Л.Ф. Российской является тематический обзорный урок, на котором обобщается теоретический материал, рассматриваются особенности решения различных типовых задач, прорешиваются стандартные и нестандартные задачи.
На уроке учащиеся получают творческую домашнюю работу: составить 4-5 задач, аналогичных классным, и решить их. Многие из них предлагают задачи повышенной трудности.
4. После обзорного урока учащиеся пишут контрольную работу. После контрольной работы проводится ее анализ, который, как правило, не занимает много времени. Большинство учащихся успешно справляются с контрольной работой. Рекомендуется сделать работу над ошибками тем, у кого они все же имеются, прорешать записанные учителем в тетрадь тренировочные задачи.
В опыте работы Л.Ф. Российской находят применение идеи педагогики сотрудничества. Отношения с классом она строит на взаимном уважении и доверии, воспитывая чувство достоинства в своих питомцах. Учитель умеет заметить зарождающийся интерес к математике у отдельного ученика, помогает укрепиться ему, смело "подталкивает" его к выполнению нестандартных задач, за которые выставляется отдельная отметка.
В выпускном классе многие ученики составляют уже свои задачи, чувствуя себя "составителями задачника", а главное, хорошо усваивают тип и особенности задач, делают это с удовольствием. Некоторые ученики составляют по заданию учителя задачи для "разминки" (устной работы на уроках).
Доброжелательность учителя сочетается со строгостью в требовательностью. Каждый ученик уверен, что он будет оценен объективно, что его слушают, пытаются понять (и учитель, и класс), радуются его успеху, огорчаются в случае недоработки.
Приведем несколько конкретных примеров планов уроков Л.Ф. Российской, в которых используется описанная методическая система.
Урок-практикум по теме "Первообразная"
Цели практикума: закрепление навыков вычисления производных и первообразных для данной функции, развитие умения творческого применения знаний в нестандартной ситуации и навыков самостоятельной работы.
I. Сообщение целей практикума.
II. Проверка усвоения изученного материала.
1. Экспресс-зачет.
1. Найдите производные функций:
2. Найдите первообразные функций:
3. Первообразная суммы ... .
4. Первообразная сложной функции ... .
5. Постоянный множитель... .
6. Основное свойство первообразной ... .
7. Геометрический смысл первообразной ... .
2. Индивидуальный опрос и фронтальная работа с классом.
К доске вызываются три ученика для выполнения двух упражнений:
первое аналогично домашнему, второе на повторение.
Примечание: здесь и далее через F(x) учитель обозначает множество всех первообразных функции f(x). В учебном пособии А.Н. Колмогорова F(x)означает одну из первообразных, общий вид первообразных F(x) + С.
С остальными учащимися устное выполнение упражнений:
После анализа ответов трех учеников фронтально повторяется вопрос
о понижении степени тригонометрических функций:
III. Объяснение способа решения упражнения с опорой на знания учащихся (по образцу).
IV. Обучающая самостоятельная работа.
Два ученика вызываются к доске и решают упражнения на ее закрытых полях. Проверка осуществляется по готовому решению.
V. Контролирующая самостоятельная работа.
Вариант 1 Вариант 2
Найти F(x) для функций:
Дополнительное задание. Для f(x)=5·sin x найти первообразную, график которой проходит через точку
VI. Задание на дом: 1) подготовиться к зачету по теории; 2) задачи № 440-446;
3) повторить графики функций:
Урок-семинар по теме "Решение уравнения cos x = a"
Цели семинара: систематизация знаний по решению уравнений вида sin x = a, введение понятия "арккосинус числа a" и вывод формулы решения уравнения вида cos x = a, развитие умения использования приемов сравнения и обобщения.
I. Сообщение целей семинара.
II. Проверка усвоения ранее изученного материала.
К доске вызываются два ученика для записи и озвучивания конспекта-схемы. Первый по вопросу "Арксинус числа a", второй по вопросу "Решение уравнения вида sin x = a". С остальными учащимися проводится экспресс-зачет.
1. Найдите арксинус числа:
2. Решите уравнение:
Приведем конспект-схему темы "Решение уравнения sin x = a".
1. Решение уравнения с использованием свойств функции y = sin x.
2. Общая формула решения уравнения:
3. Пример. Решить уравнение:
III. Изучение нового материала:
Заслушиваются сообщения двух учеников, которые самостоятельно подготовили конспект-схему по вопросам: "Арккосинус числа a", "Решение уравнения cos x = a".
Конспект-схема каждым была записана заранее и по ней они излагают новый материал. Учащиеся класса дают рецензии на оба конспекта-схемы. Учитель вносит свои поправки, если появляется необходимость в этом. Усовершенствованый конспект-схема записывается всеми учащимися в тетрадь.
IV. Объяснение способа решения уравнеия вида cos (kx+b) = a на примере:
Учитель показывает образец записи.
V. Обучающая самостоятельная работа. Решить уравнения:
После выполнения работы все решения обсуждаются.
VI. Творческая работа.
Задание: Составить для соседа по парте уравнение типа cos x = a и предложить ему решить его.
VII. Задание на дом: 1) подготовить вопросы теории; 2) повторить свойство и график функций tg x, ctg x; 3) по вариантам (учащиеся сами определяют себе вариант, исходя из уровня подготовки) составить и решить по четыре уравнения типа: sin x = a, cos x = a, sin(kx+b) = a, cos(kx+b) = a.
Обзорный урок по теме "Производная, ее геометрический и механический смысл" (2 часа)
Цели обзорного урока: систематизировать теоретические знания по теме, закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе выполнения упражнений, показать практическую значимость понятия производной и подготовить учащихся к контрольной работе.
I. Сообщение целей урока.
II. Погружение (2 мин.) - воспроизведение знаний с помощью опорного конспекта-схемы "Производная".
III. Повторение опорных знаний в ходе фронтальной беседы по вопросам:
1). Дайте определение производной функции в точке.
2). Что такое приращение аргумента и приращение функции?
3). Сформулируйте алгоритм нахождения производной по определению.
4). Какие формулы для вычисления производной выводились с помощью этого алгоритма?
5). Почему производная С равна нулю?
6). Почему производная суммы равна сумме производных?
7). В чем состоит механический смысл производной?
8). Как выяснить является ли функция сложной?
9). Чему равна производная сложной функции?
10). Когда рациональнее вместо производной частного находить производную суммы?
11). Как дробь представить в виде произведения?
12). Чему равна производная произведения?
13). Чему равна производная степенной функции?
14). Чему равны производные тригонометрических функций?
15). Может ли производная тригонометрической функции равняться степенной функции? Почему?
IV. Экспресс-зачет.
1. Назовите производные:
2. Производная известна. Какую функцию дифференцировали?
V. Применение знаний, умений и навыков при решении типовых задач.
1. Найдите производную функции:
2. Вычислите:
3. Решите уравнение:
VI. Погружение (1 мин.) - воспроизведение знаний с помощью опорного конспекта-схемы "Метод интервалов".
VII. Повторение опорных знаний и умений в ходе фронтальной беседы по вопросам:
1). В чем суть метода интервалов?
2). Приведите пример функции: а) не меняющей знак при переходе через нуль этой функции, б) не меняющей знак при переходе через точку разрыва, в) меняющей знак при переходе через нуль функции, г) меняющей знак при переходе через точку разрыва.
3). Почему достаточно взять одно значение аргумента при определении знака функции на всем интервале?
4). Какие точки разбиения области определения на промежутки закрашиваем, а какие нет?
VIII. Применение знаний, умений и навыков при решении типовых задач. Решите методом интервалов:
IX. Погружение (2 мин) - воспроизведение знаний с помощью опорного конспекта-схемы "Геометрический смысл производной".
X. Повторение опорных знаний в ходе фронтальной беседы по вопросам:
1). Какая связь между секущей и касательной к кривой?
2). Почему нельзя говорить, что касательная к кривой - это прямая, имеющая общую точку с кривой?
3). Что называется касательной к графику функции f в точке
4). Как найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой ?
5). В чем состоит геометрический смысл производной?
6). Каков общий вид уравнения касательной к графику функции, проходящей через точку с абсциссой ? Почему?
7). Какие данные нужно иметь, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в данной его точке?
8). Сформулируйте алгоритм решения задачи на составление уравнения касательной к графику функции.
9). Почему для нахождения b находим
10). Почему нельзя писать y = kx + b = 2 x – 3 ?
XI. Применение знаний, умений и навыков при решении типовых задач.
1. Найдите угол наклона касательной к графику функции:
2. Составьте уравнение касательной к графику функции:
XII. Фронтальная устная работа.
Найдите производную функции:
XIII. Подведение итога урока.
XIV. Задание на дом: 1) повторить всю теорию и практику, 2) составить и решить по два упражнения каждого типа.
Урок-лекция по теме "Наибольшее и наименьшее значения функции"
Цель лекции: показать применение производной к нахождению наибольших и наименьших значений функций и решению простейших прикладных задач "на экстремум".
I. Погружение (2 мин.) - воспроизведение знаний по опорному конспекту-схеме "Критические точки функции, ее экстремумы".
II. Повторение опорных знаний в ходе фронтальной беседы по вопросам:
1. Какие точки называются критическими точками функции?
2. Почему критическая точка - "кандидат" в экстремумы?
3. Дайте определение точек экстремума функций. Что такое экстремум функции?
4. Почему критические точки являются только внутренними точками области определения функции?
III. Изучение нового материала. Объяснение учителя с опорой на конспект-схему: Теорема Вейерштрасса:
Экстремумы f(x):
План нахождения M и m:
1). Найти критические точки функции f.
2). Вычислить значения функции f в этих точках.
3). Вычислить значения функции f на концах отрезка.
4). Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
5). Записать ответ.
Рассмотреть решение задачи № 363 (а) по плану.
IV. Решение задач на применение знаний.
1. Сообщить учащимся, что к отысканию наибольших и наименьших значений функций приводит решение многих практических задач. Для решения каждой такой задачи нужно предварительно представить исследуемую величину как функцию некоторого аргумента и найти ее наибольшее и наименьшее значение. На практике чаще всего оказывается, что область определения исследуемой функции содержит единственную точку экстремума и соответствующее значение в этой точке является наибольшим или наименьшим.
2. Учитель объясняет решение задачи: Из листа картона квадратной формы со стороной 10 см надо изготовить открытую коробку. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы получилась коробка наибольшей вместимости.
Решение задачи проводится по следующему плану: 1) выявить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой говорится в задаче; 2) ввести переменную, задание которой однозначно определяет выявленную величину; 3) найти допустимые значения переменной; 4) выразить величину как функцию введенной переменной; 5) найти искомое наибольшее или наименьшее значение функции; 6) записать ответ к задаче.
Оформление на доске и в тетрадях сделать в виде таблицы: слева записать план, справа - решение задачи по плану.
3. Решить задачи № 416 (а), 364.
| 
